Notions de logique · Leçon 2

Lois logiques

Tableau

Complète la table pour vérifier la loi de Morgan $\overline{P \text{ ou } Q} \Leftrightarrow \overline{P} \text{ et } \overline{Q}$ .

P

Q

P \text{ ou } Q

\overline{P \text{ ou } Q}

\overline{P} \text{ et } \overline{Q}

Tous les énoncés et corrigés

Complète la table pour vérifier la loi de Morgan $\overline{P \text{ ou } Q} \Leftrightarrow \overline{P} \text{ et } \overline{Q}$ .
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Les deux dernières colonnes sont identiques : la loi est vérifiée.
Quelle est la négation de $P \text{ et } Q$ ?
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- $\overline{P} \text{ ou } \overline{Q}$
Quelle est la négation de $P \Rightarrow Q$ ?
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- $P \text{ et } \overline{Q}$
$\overline{P \Rightarrow Q} \Leftrightarrow \overline{\overline{P} \text{ ou } Q} \Leftrightarrow P \text{ et } \overline{Q}$ (loi de Morgan + double négation).
Lesquelles sont des lois logiques (toujours vraies) ?
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- $P \text{ ou } \overline{P}$
- $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\overline{Q} \Rightarrow \overline{P})$
Avec trois propositions, la table a $2^3 = 8$ lignes. Vérifie la distributivité : $P \text{ et } (Q \text{ ou } R) \Leftrightarrow (P \text{ et } Q) \text{ ou } (P \text{ et } R)$ .
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Simplifie : $\overline{\overline{P} \text{ ou } Q}$
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- $P \text{ et } \overline{Q}$
Morgan : $\overline{\overline{P} \text{ ou } Q} \Leftrightarrow \overline{\overline{P}} \text{ et } \overline{Q} \Leftrightarrow P \text{ et } \overline{Q}$ . C'est aussi la négation de $P \Rightarrow Q$ !
Soit $x \in \mathbb{R}$ . Quelle est la négation de « $x \geq 1$ et $x \leq 3$ » ?
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$\overline{(x \geq 1 \text{ et } x \leq 3)} \iff (x < 1 \text{ ou } x > 3)$
« $x\geq1$ et $x \leq 3$ » signifie $x\in[1,3]$ . Sa négation : $x\notin[1,3]$ , c'est-à-dire $x<1$ ou $x>3$ .