Streak00/3aujourd'hui

Défi 1 · Série · Ex 1

Une proposition fausse

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  1. À construire

    Étape 1. Construis P‾\overline{P}.

    Touche les blocs dans l'ordre.
  2. Étape 2
  3. Étape 3
Corrigé complet

Rédaction complète

1) P‾: ∃x∈R, ∀y∈R: x2−xy+y2≠0\overline{P} :\ \exists x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R} :\ x^2 - xy + y^2 \neq 0.

2) Prenons x=1x = 1. Pour tout y∈Ry \in \mathbb{R}, 1−y+y21 - y + y^2 est un trinôme de discriminant Δ=1−4=−3<0\Delta = 1 - 4 = -3 < 0, donc il ne s'annule pas. Ainsi P‾\overline{P} est vraie, donc PP est fausse.

Pour aller plus loin : x2−xy+y2=(x−y2)2+34y2x^2 - xy + y^2 = \left(x - \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}y^2, qui ne s'annule que pour x=y=0x = y = 0.

  1. Étape 1. Construis P‾\overline{P}.

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    1. ∃x∈R,\exists x \in \mathbb{R},
    2. ∀y∈R,\forall y \in \mathbb{R},
    3. x2−xy+y2≠0x^2 - xy + y^2 \neq 0

  2. Étape 2. Pour x=1x = 1, il faut trouver yy tel que y2−y+1=0y^2 - y + 1 = 0. Calcule le discriminant Δ\Delta.

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    Δ=\Delta = −3-3

  3. Étape 3. Quelle rédaction prouve que PP est fausse ?

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    • Prenons x=1x = 1. Pour tout y∈Ry \in \mathbb{R}, y2−y+1y^2 - y + 1 a pour discriminant −3<0-3 < 0, donc y2−y+1≠0y^2 - y + 1 \neq 0. Ainsi P‾\overline{P} est vraie, donc PP est fausse.