Streak00/3aujourd'hui

Défi 3 · Série · Ex 6.3

Pas de solution rationnelle

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  1. Question

    Étape 1. On raisonne par l'absurde. Que suppose-t-on ?

  2. Étape 2
  3. Étape 3
  4. Étape 4
  5. Étape 5
Corrigé complet

  1. Étape 1. On raisonne par l'absurde. Que suppose-t-on ?

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    • L'équation admet une solution x=pqx = \frac{p}{q} avec p∈Zp \in \mathbb{Z}, q∈N∗q \in \mathbb{N}^{*} et pq\frac{p}{q} irréductible.

  2. Étape 2. On remplace xx par pq\frac{p}{q} et on multiplie par q2q^2. On obtient :

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    • ap2+bpq+cq2=0ap^2 + bpq + cq^2 = 0

  3. Étape 3. pq\frac{p}{q} est irréductible. Quels cas de parité sont possibles ?

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    • pp impair et qq impair
    • pp pair et qq impair
    • pp impair et qq pair

  4. Étape 4. Complète le tableau de parité (rappel : aa, bb, cc sont impairs).

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  5. Étape 5. Quelle conclusion est correcte ?

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    • Dans tous les cas, ap2+bpq+cq2ap^2 + bpq + cq^2 est impair, donc non nul : contradiction. L'équation n'a pas de solution rationnelle.