Quantificateurs

La proposition est fausse. Pour $x = 1$ : $1^2 - 3 \times 1 + 2 = 0$. Donc $\exists x \in \mathbb{R} : x^2 - 3x + 2 = 0$.

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ s'annule pour $x = 1$ et $x = 2$. Un seul contre-exemple suffit : la proposition est fausse.

La proposition est fausse. Pour $x = 1$ et $y = 0$ : $2 \times 1 + 3 \times 0 = 2$.

$(x,y) = (1, 0)$ donne $2\cdot1 + 3\cdot 0 = 2$. Il y a même une infinité de contre-exemples (tous les points d'une droite).

En fait, tous les couples sont des contre-exemples : si $x, y \in\, ]0,1[$ alors $\frac1x > 1$ et $\frac1y > 1$, donc $\frac1x + \frac1y > 2$, alors que $xy < 1$ donne $1 + xy < 2$.

$\overline{P} :\ \forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R} :\ xy^2 - y - 2x < 0$

On échange $\exists \leftrightarrow \forall$, on garde les ensembles et l'ordre, et on nie la fin : $\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R} :\ xy^2 - y - 2x < 0$.

La proposition est fausse. Montrons sa négation : $\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R} :\ xy^2 - y - 2x < 0$. Soit $x \in \mathbb{R}$. Si $x > 0$, pour $y = 0$ : $-2x < 0$. Si $x \leq 0$, pour $y = 2$ : $4x - 2 - 2x = 2x - 2 < 0$.

Soit $x \in \mathbb{R}^{*}_{+}$. On a $x + \frac1x - 2 = \frac{(x-1)^2}{x} \geq 0$ car $(x-1)^2 \geq 0$ et $x > 0$. Donc $x + \frac1x \geq 2$ : la proposition est vraie.

Les deux justifications sont valables. Réutiliser un résultat déjà démontré est souvent le plus rapide !

La proposition est vraie. Pour $n = 5$ : $|25 - 35 + 10| + (5 - 5)^2 = 0$.

Pour $n = 5$ : $25 - 35 + 10 = 0$ et $(5-5)^2 = 0$. La proposition est vraie (et $n = 5$ est le seul).

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $x^2 - 2|x| + 3 = (|x| - 1)^2 + 2 \geq 2 > 0$. L'équation n'a pas de solution, donc la proposition est fausse.

Soit $x \in \mathbb{R}$. Pour $y = x$ : $y^2 - 3xy + 2x^2 = x^2 - 3x^2 + 2x^2 = 0$. Donc la proposition est vraie.

Le contraire de « $\forall$ élève, il a un stylo » est « $\exists$ un élève qui n'a pas de stylo ».

Dans « $\forall$ élève, $\exists$ chaise », la chaise peut changer d'un élève à l'autre.

La proposition est fausse. Soit $y \in \mathbb{R}$ ; pour $x = y + 1$ on a $y < x$. Donc $\forall y \in \mathbb{R},\ \exists x \in \mathbb{R} : y \leq x$.

Pour tout $y$, $x = y + 1$ donne $y < x$. La proposition est fausse. Par contre, $\forall x,\ \exists y : y > x$ est vraie.

$m = n + 1$ convient pour la 1ère (il dépend de $n$). $m = 0$ convient pour la 3e : il est inférieur ou égal à tous les entiers naturels.

L'ensemble compte : dans $\mathbb{N}$, seul $2$ vérifie $x^2 = 4$.