Notions de logique · Leçon 4

Types de raisonnement

QuestionSérie · Ex 6.2

Quelle méthode ?

Montrer que le système $\begin{cases} 2x - 3z > 3 \\ 3y - 2x \geq 3 \\ y - z \leq 2 \end{cases}$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}^3$ .

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Quelle méthode ?
Montrer que le système $\begin{cases} 2x - 3z > 3 \\ 3y - 2x \geq 3 \\ y - z \leq 2 \end{cases}$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}^3$ .
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- Raisonnement par l'absurde
« N'a pas de solution » est un signal typique : on suppose qu'une solution existe et on cherche une contradiction.
Quelle méthode ?
Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $n(n+1)$ est pair.
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- Disjonction des cas
- Raisonnement par récurrence
La disjonction des cas ( $n$ pair / $n$ impair) est la plus naturelle. La récurrence marche aussi : $(n+1)(n+2) = n(n+1) + 2(n+1)$ .
Quelle méthode ?
Soit $n \in \mathbb{Z}$ . Montrer que si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.
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- Raisonnement par contraposée
- Raisonnement par l'absurde
Contraposée : si $n$ est pair, $n = 2k$ , alors $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ est pair.
Quelle méthode ?
Montrer que la proposition « $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq x$ » est fausse.
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- Contre-exemple
Un seul $x$ suffit : $x = \frac12$ donne $\frac14 < \frac12$ .
Quelle méthode ?
Montrer que si $a$ , $b$ et $c$ sont des entiers impairs, alors l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ n'admet pas de solution rationnelle.
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- Raisonnement par l'absurde
« N'admet pas de solution rationnelle » : on suppose qu'il en existe une, $x = \frac pq$ , et on cherche une contradiction (avec la parité).
Raisonnement direct
Si $n + 1 = k^2$ , alors $14n + 14 = 14k^2$ . Il suffit d'écrire $14 = a^2 + b^2 + c^2$ : trouve $a$ , $b$ , $c$ .
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$14 = 9 + 4 + 1 = 3^2 + 2^2 + 1^2$ . Donc $14n + 14 = 14k^2 = (3k)^2 + (2k)^2 + k^2$ : une somme de trois carrés parfaits.
L'astuce de factorisation
Pour encadrer $xy - 4x + 2y - 3$ ( $x, y \in [1,3]$ ), quelle écriture est correcte ?
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- $(x+2)(y-4) + 5$
$x + 2 \in [3, 5]$ et $y - 4 \in [-3, -1]$ (négatif). Donc $(x+2)(y-4) \in [-15, -3]$ et $xy - 4x + 2y - 3 \in [-10, 2] \subset [-10, 3]$ .
« Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $n^2 + n + 41$ est premier. » Touche la ligne fausse.
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Ligne 5 : Des exemples, même nombreux, ne prouvent pas un « pour tout ».
L'affirmation est même fausse : pour $n = 40$ , $40^2 + 40 + 41 = 1681 = 41^2$ . C'est le célèbre polynôme d'Euler.
Résolution de $\sqrt{x+2} = x$ dans $\mathbb{R}$ . Touche la ligne fausse.
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$\sqrt{x+2} = x \iff (x \geq 0 \text{ et } x + 2 = x^2) \iff (x \geq 0 \text{ et } (x = -1 \text{ ou } x = 2)) \iff x = 2$ . Donc $S = \{2\}$ .
Correct : $\sqrt{x+2} = x \iff (x \geq 0$ et $x + 2 = x^2)$ . On garde seulement $x = 2$ : $S = \{2\}$ . Vérification : $\sqrt{1} = 1 \neq -1$ , donc $-1$ est une solution parasite.
Remets dans l'ordre (attention aux pièges) : « si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair », par contraposée.
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1. Raisonnons par contraposée : montrons que si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair.
2. Supposons $n$ impair : il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $n = 2k + 1$ .
3. Alors $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ .
4. Comme $2k^2 + 2k \in \mathbb{Z}$ , $n^2$ est impair.
5. Donc, par contraposée, si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.
Remets dans l'ordre : « $n(n+1)$ est pair », par disjonction des cas.
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1. Soit $n \in \mathbb{N}$ . On distingue deux cas selon la parité de $n$ .
2. Cas 1 : $n$ pair, $n = 2k$ avec $k \in \mathbb{N}$ . Alors $n(n+1) = 2\,[k(2k+1)]$ est pair.
3. Cas 2 : $n$ impair, $n = 2k+1$ . Alors $n + 1 = 2(k+1)$ et $n(n+1) = 2\,[(2k+1)(k+1)]$ est pair.
4. Dans tous les cas, $n(n+1)$ est pair.

Quelle méthode ?

Quelle méthode ?

Quelle méthode ?

Quelle méthode ?

Quelle méthode ?

Raisonnement direct

L'astuce de factorisation