Lois logiques : cours | Notions de logique 1ère Bac SM

À ton avis ?

Quel est le contraire de : « Je mange de la viande et du poisson » ?

Définition

Loi logique

Une loi logique est une proposition qui est toujours vraie, quelles que soient les valeurs de $P$ , $Q$ …

On la démontre avec une table de vérité.

Propriété

Lois à connaître

Double négation : $\overline{\overline{P}} \Leftrightarrow P$
Tiers exclu : $P \text{ ou } \overline{P}$ est toujours vraie
Lois de Morgan : $\overline{P \text{ et } Q} \Leftrightarrow \overline{P} \text{ ou } \overline{Q}$ et $\overline{P \text{ ou } Q} \Leftrightarrow \overline{P} \text{ et } \overline{Q}$
Distributivité : $P \text{ et } (Q \text{ ou } R) \Leftrightarrow (P \text{ et } Q) \text{ ou } (P \text{ et } R)$ et $P \text{ ou } (Q \text{ et } R) \Leftrightarrow (P \text{ ou } Q) \text{ et } (P \text{ ou } R)$
Implication : $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\overline{P} \text{ ou } Q)$
Négation d'une implication : $\overline{P \Rightarrow Q} \Leftrightarrow P \text{ et } \overline{Q}$
Contraposition : $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\overline{Q} \Rightarrow \overline{P})$
Équivalence : $(P \Leftrightarrow Q) \Leftrightarrow \big[(P \Rightarrow Q) \text{ et } (Q \Rightarrow P)\big]$
Transitivité : $\big[(P \Rightarrow Q) \text{ et } (Q \Rightarrow R)\big] \Rightarrow (P \Rightarrow R)$

$P$	$Q$	$P \Rightarrow Q$	$\overline{P \Rightarrow Q}$	$P \text{ et } \overline{Q}$
V	V	V	F	F
V	F	F	V	V
F	V	V	F	F
F	F	V	F	F

P

Q

P \Rightarrow Q

\overline{P \Rightarrow Q}

P \text{ et } \overline{Q}

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

Dans la vraie vie

Il pleut et il fait froid

Le contraire de « il pleut et il fait froid » est : « il ne pleut pas ou il ne fait pas froid ».

Il suffit qu'une des deux choses soit fausse.

Manipule

Compare les zones deux par deux

P il pleut · Q il fait froid

En bleu : quand $\overline{P \text{ et } Q}$ est vraie.

Attention

Piège classique

La négation de « $P \Rightarrow Q$ » n'est pas « $\overline{P} \Rightarrow \overline{Q}$ ». C'est « $P$ et $\overline{Q}$ » : l'hypothèse est vraie mais la conclusion est fausse. Regarde la table ci-dessus.

À l'examen

Montrer une loi logique

Question : « Montrer que … est une loi logique. »

Dresse la table de vérité, puis conclus :

« La dernière colonne ne contient que des V, donc c'est une loi logique. »