Quantificateurs : cours | Notions de logique 1ère Bac SM

À ton avis ?

Compare :

(A) « Pour tout élève de la classe, il existe un stylo qu'il utilise. »
(B) « Il existe un stylo que tous les élèves de la classe utilisent. »

Ces deux phrases disent-elles la même chose ?

Définition

Fonction propositionnelle

Une phrase avec une variable, comme $P(x) :\ x^2 \geq 4$ , est une fonction propositionnelle. Quand on remplace $x$ par un nombre, on obtient une proposition : $P(3)$ est vraie, $P(1)$ est fausse.

Définition

Quantificateurs

$\forall x \in E,\ P(x)$ : « pour tout $x$ de $E$ , $P(x)$ ». Vraie si $P(x)$ est vraie pour chaque élément de $E$ .
$\exists x \in E,\ P(x)$ : « il existe $x$ dans $E$ tel que $P(x)$ ». Vraie si au moins un élément convient.
$\exists!\, x \in E,\ P(x)$ : « il existe un unique $x$ ». Exactement un élément convient.

Dans la vraie vie

Dans la classe

« Tous les élèves ont un stylo » ( $\forall$ ) est fausse s'il y a un seul élève sans stylo.
« Un élève a eu 20/20 » ( $\exists$ ) est vraie s'il y en a au moins un.
Le contraire de « tous les élèves ont réussi » est « au moins un élève n'a pas réussi » (et non « personne n'a réussi »).

Manipule

Les stylos de la classe

Touche un élève pour retirer ou rendre son stylo. Les deux premières phrases sont toujours contraires.

VTous les élèves ont un stylo( $\forall$ )
FAu moins un élève n'a pas de stylo( $\exists$ )
VAu moins un élève a un stylo( $\exists$ )

Propriété

Négation des quantificateurs

$\overline{\forall x \in E,\ P(x)} \iff \exists x \in E,\ \overline{P(x)}$ $\overline{\exists x \in E,\ P(x)} \iff \forall x \in E,\ \overline{P(x)}$

Méthode : on échange $\forall$ et $\exists$ , on garde les ensembles et l'ordre, et on nie la propriété finale.

Exemple (Ex 1 de la série)

$P :\ \forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R} :\ x^2 - xy + y^2 = 0$

Attention

Négations utiles

$=$ devient $\neq$ ; $<$ devient $\geq$ ; $\geq$ devient $<$ .
« et » devient « ou », « ou » devient « et ».
L'ensemble ne change pas : la négation de « $\forall x \in \mathbb{R}^{*}_{+}, \dots$ » commence par « $\exists x \in \mathbb{R}^{*}_{+}$ », pas par « $\exists x \notin \mathbb{R}^{*}_{+}$ ».

À l'examen

Valeur de vérité et négation

Négation : change $\forall$ en $\exists$ , $\exists$ en $\forall$ , garde les ensembles, et nie la fin.
Un « $\forall$ » est faux : donne un contre-exemple. « Pour $x = 1$ , on a $1^2 - 3 + 2 = 0$ , donc la proposition est fausse. »
Un « $\exists$ » est vrai : donne un exemple. « Pour $n = 5$ , on a …, donc la proposition est vraie. »
Un « $\forall$ » est vrai : fais un calcul valable pour tout $x$ , pas des exemples.