Propositions et connecteurs

Une proposition est une phrase mathématique qui est soit vraie (V), soit fausse (F).

• « $7$ est un nombre premier » est une proposition vraie.
• « $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ » est une proposition fausse.
• « $x + 1 = 3$ » n'est pas une proposition : sa vérité dépend de $x$. C'est une fonction propositionnelle (section 3).

• La négation de $P$, notée $\overline{P}$ (ou « non $P$ »), est vraie quand $P$ est fausse, et fausse quand $P$ est vraie.
• La conjonction $(P \text{ et } Q)$ est vraie seulement quand $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies.
• La disjonction $(P \text{ ou } Q)$ est vraie quand au moins une des deux est vraie.

• L'implication $P \Rightarrow Q$ (« si $P$ alors $Q$ ») est fausse uniquement quand $P$ est vraie et $Q$ est fausse.
• L'équivalence $P \Leftrightarrow Q$ est vraie quand $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité.

Quand $P \Rightarrow Q$ est vraie :

• $P$ est une condition suffisante pour $Q$ : avoir $P$ suffit pour avoir $Q$.
• $Q$ est une condition nécessaire pour $P$ : sans $Q$, pas de $P$.

Exemple : $x = 2 \Rightarrow x^2 = 4$. « $x=2$ » suffit pour avoir $x^2=4$, mais n'est pas nécessaire ($x=-2$ marche aussi).

Pour l'implication $P \Rightarrow Q$ :

• sa réciproque est $Q \Rightarrow P$. Elle peut être fausse même si $P \Rightarrow Q$ est vraie !
• sa contraposée est $\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$. Elle a toujours la même valeur de vérité que $P \Rightarrow Q$.