Types de raisonnement

On part des hypothèses et on enchaîne des implications jusqu'à la conclusion.

Exemple : si $n + 1 = k^2$, alors $14n + 14 = 14k^2 = (3k)^2 + (2k)^2 + k^2$ : c'est une somme de trois carrés.

Pour montrer que « $\forall x \in E,\ P(x)$ » est fausse, il suffit de trouver un $x_0 \in E$ pour lequel $P(x_0)$ est fausse.

Pour montrer $P \iff Q$, on écrit une chaîne $P \iff P_1 \iff P_2 \iff \dots \iff Q$. Chaque « $\iff$ » doit être vrai dans les deux sens.

Exemple : pour $|a| < 1$ et $|b| < 1$ : $$|a+b| < |1+ab| \iff (a+b)^2 < (1+ab)^2 \iff 0 < (1-a^2)(1-b^2)$$ et la dernière inégalité est vraie.

Pour montrer $P \Rightarrow Q$, on montre $\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$.

Quand ? Quand $\overline{Q}$ donne une information concrète à exploiter. Exemple : pour « $n^2$ pair $\Rightarrow$ $n$ pair », l'hypothèse « $n^2$ pair » est difficile à utiliser, alors que « $n$ impair » donne $n = 2k+1$.

Pour montrer $P$, on suppose $\overline{P}$ et on aboutit à une contradiction (un résultat faux, ou contraire à une hypothèse).

Signaux : « n'admet pas de solution », « il n'existe pas », « est irrationnel », « est différent de ».

Si $P$ est vraie dans chaque cas, et que les cas couvrent toutes les possibilités, alors $P$ est vraie.

Signaux : parité ($n$ pair / impair), signe ($x \geq 0$ / $x < 0$), valeur absolue, reste d'une division euclidienne.