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Notions de logique · Leçon 1

Propositions et connecteurs

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Question

Reconnaître une proposition

Parmi ces énoncés, lesquels sont des propositions ?

Plusieurs réponses possibles.

Tous les énoncés et corrigés

  1. Reconnaître une proposition

    Parmi ces énoncés, lesquels sont des propositions ?

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    • 77 est un nombre premier.
    • 2+2=52 + 2 = 5
    • 2∈Q\sqrt{2} \in \mathbb{Q}

    Une proposition peut être fausse : « 2+2=52+2=5 » et « 2∈Q\sqrt2\in\mathbb{Q} » sont des propositions fausses. Ce qui compte, c'est qu'on puisse trancher : vrai ou faux.

  2. Vraie ou fausse ?

    (2<3) ou (4=3)(2 < 3) \text{ ou } (\sqrt{4} = 3)

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    • Vraie

    2<32<3 est vraie, 4=3\sqrt4 = 3 est fausse. Une disjonction est vraie dès qu'au moins une des deux est vraie.

  3. Vraie ou fausse ?

    (2<3) et (4=3)(2 < 3) \text{ et } (\sqrt{4} = 3)

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    • Fausse

  4. Vraie ou fausse ?

    (π>4)⇒(1=2)(\pi > 4) \Rightarrow (1 = 2)

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    « π>4\pi > 4 » est fausse. Une implication dont l'hypothèse est fausse est vraie, donc (π>4)⇒(1=2)(\pi > 4) \Rightarrow (1 = 2) est vraie.

    Hypothèse fausse ⇒ l'implication est vraie, quelle que soit la conclusion.

  5. Vraie ou fausse ?

    (2 est pair) ou (2 est premier)(2 \text{ est pair}) \text{ ou } (2 \text{ est premier})

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    • Vraie

  6. Complète la table (touche une case pour choisir V ou F), puis compare les deux dernières colonnes.

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    Les colonnes P‾ ou Q\overline{P}\text{ ou } Q et P⇒QP \Rightarrow Q sont identiques : (P⇒Q)⇔(P‾ ou Q)(P\Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\overline{P} \text{ ou } Q). C'est une loi logique très utile.

  7. Nécessaire ou suffisante ?

    Pour x∈Rx \in \mathbb{R}, « x=2x = 2 » est une condition … pour « x2=4x^2 = 4 ».

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    • suffisante mais pas nécessaire

    x=2⇒x2=4x = 2 \Rightarrow x^2 = 4 (suffisante) mais x2=4⇏x=2x^2 = 4 \not\Rightarrow x = 2 (pas nécessaire).

  8. Contraposée

    Quelle est la contraposée de : « Si n2n^2 est pair, alors nn est pair » ?

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    La contraposée de « si n2n^2 est pair, alors nn est pair » est : « si nn est impair, alors n2n^2 est impair ».

    La contraposée de P⇒QP \Rightarrow Q est Q‾⇒P‾\overline{Q} \Rightarrow \overline{P} : on nie les deux et on échange. Ici Q‾\overline{Q} : « nn est impair », P‾\overline{P} : « n2n^2 est impair ».

  9. Réciproque

    L'implication « si nn est divisible par 44, alors nn est pair » est vraie. Que dire de sa réciproque ?

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    • Elle est fausse : n=2n = 2 est pair mais pas divisible par 44.

  10. Complète la table. Que remarques-tu sur les colonnes P⇔QP \Leftrightarrow Q et (P⇒Q) et (Q⇒P)(P\Rightarrow Q)\text{ et }(Q \Rightarrow P) ?

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    Les deux dernières colonnes sont identiques : montrer P⇔QP \Leftrightarrow Q, c'est montrer P⇒QP \Rightarrow Q et sa réciproque Q⇒PQ \Rightarrow P.