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Défi 4 · Série · Ex 11

Une inégalité avec valeurs absolues

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  1. Question

    Étape 1. On compare deux valeurs absolues. Quelle est la meilleure idée ?

  2. Étape 2
  3. Étape 3
  4. Étape 4
Corrigé complet

  1. Étape 1. On compare deux valeurs absolues. Quelle est la meilleure idée ?

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    • Comparer les carrés : ∣u∣<∣v∣  ⟺  u2<v2|u| < |v| \iff u^2 < v^2.

  2. Étape 2. Développe puis factorise (1+ab)2−(a+b)2(1 + ab)^2 - (a + b)^2.

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    • (1−a2)(1−b2)(1 - a^2)(1 - b^2)

  3. Étape 3. Pourquoi (1−a2)(1−b2)>0(1 - a^2)(1 - b^2) > 0 ?

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    • ∣a∣<1⇒a2<1⇒1−a2>0|a| < 1 \Rightarrow a^2 < 1 \Rightarrow 1 - a^2 > 0, de même 1−b2>01 - b^2 > 0 : c'est un produit de deux réels strictement positifs.

  4. Étape 4. Remets la chaîne d'équivalences dans l'ordre.

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    1. ∣a+b∣<∣1+ab∣  ⟺  (a+b)2<(1+ab)2|a+b| < |1+ab| \iff (a+b)^2 < (1+ab)^2 (car ∣u∣<∣v∣  ⟺  u2<v2|u| < |v| \iff u^2 < v^2)
    2.   ⟺  0<(1+ab)2−(a+b)2\iff 0 < (1+ab)^2 - (a+b)^2
    3.   ⟺  0<(1−a2)(1−b2)\iff 0 < (1-a^2)(1-b^2)
    4. Or ∣a∣<1|a| < 1 et ∣b∣<1|b| < 1, donc 1−a2>01 - a^2 > 0 et 1−b2>01 - b^2 > 0 : la dernière inégalité est vraie.
    5. Donc, par équivalences successives, ∣a+b∣<∣1+ab∣|a + b| < |1 + ab|.